Page 5 - 2022年第20卷第4期
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处主从面的法向共轴(但方向相反),当从节点位于两个低阶单元的交界线上时,尤其是当网格不够
               精细时,内外算法给出的接触方向可能会与实际存在较大偏差。
                   接触点确定后,通过如下步骤求解其坐标。在主接触片上建立二维直角坐标系(图 4),主点x ˉ 的
                                                                                                        1
               坐标通过求解从节点 x 在面 ABCD 上的投影获得,其与节点坐标存在如下插值关系:
                                   2
                                                                   )
                                                          N
                                                    x ˉ = å ( ξ ˉ ,ξ ˉ x I 1                           (4)
                                                              1
                                                     1
                                                                  2
                                                           I
                                                        I
                   其中插值函数
                                                  N = ( 1 - ξ ξ ˉ 1 )(1 - ξ ξ ˉ 2 )                    (5)
                                                       1
                                                            1
                                                                    2
                                                    I
                                                       4    I       I
                                                                            C    ξ  2
                                                                        1
                                          s                            n ˉ
                                          n       c                        a ˉ 2
                                d                                       x ˉ  1           B
                                          Dc                        D       a ˉ 1   ξ  1
                                  Dd     o                                      A
                              r ad            Db                         9N
                            n as        Da        内                        x  2
                             a         r ad      b  外
                                图 3  从节点的内外状态检查                        图 4  点面接触示意图    [11]
                                                              1
                            2
                        1
                   其中ξ 和ξ 分别为主接触片节点的局部坐标,x 为主接触片节点在平面上的整体坐标。
                                                             I
                        I
                            I
                   从节点 x 与主接触片之间的距离即与主点x ˉ 之间的距离(贯入量),可将式(3)重新写为
                          2
                                                          1
                                                         [
                                                  g = n ˉ ⋅ x - x ˉ ( ξ ˉ ,ξ ˉ  2  ] )                 (6)
                                                           2
                                                                  1
                                                        1
                                                               1
                                                   N
                                ˉ
                            ˉ
                   局部坐标ξ 和ξ 为未知量,可通过求解整体坐标与局部坐标之间的关系式(式 4)求出。因其中的
                                 2
                             1
                       )
                               ˉ
                                   ˉ
                   1
                                    2
                       2
               N ( ξ ˉ ,ξ ˉ 为关于ξ 和ξ 的二次函数,故方程的最终形式如下:
                                1
                I
                                                    1 2    1     2
                                                ìA ξ ˉ ξ ˉ + B ξ ˉ + C ξ ˉ + D = 0
                                                í  1  1 2  1  1  1  2  1                               (7)
                                                î A ξ ˉ ξ ˉ + B ξ ˉ + C ξ ˉ + D = 0
                                                               2
                                                          2
                                                  2
                                                                     2
               其中,A 、B 、C 和 D 为系数。该式采用迭代法或解析法求解均可。
                      i
                          i
                              i
                                  i
               3  基于点面接触的动接触力模型
                   对结构动力方程采用中心差分和单边差分进行空间离散后,可写成如下形式
                                                         AU = F                                        (8)
                   其中 A 为等效刚度矩阵,U 为位移向量,F 为等效荷载向量。
                   考虑接触力的贡献后,该式变为:
                                                       AU = F - Bλ                                     (9)
                   其中 B 为接触约束矩阵,λ表示接触力向量。
                   接触面约束方程为:
                                                         B u = γ                                     (10)
                                                           T
                   其中γ 为位移约束条件向量。
                   由式(9)、式(10)以及整体坐标系与局部坐标系的转换关系得缝面接触力与位移的关系:
                                                           l
                                                         Cλ = Δu                                     (11)
                   其中
                                                     C = TB A BT   T                                 (12)
                                                              -1
                                                            T
                                                    Δu = TB A F - γ  l                               (13)
                                                              -1
                                                            T
                                                                                               — 289  —
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