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图 3 527-10（左）和 610-27（右）加速度记录富氏谱
以两点响应间的互相关函数替代自由响应函数，也称为脉冲响应函数，因为在理想白噪声激励条件
下两者的数学表达形式完全一致。以下为 ITD 法中特征矩阵的主要推导过程。
多自由度系统的自由响应运动微分方程为：
[ ]{x ̈ ( ) t } + [ ]{x ̇ ( ) t } + [ ]{x ( ) t } = 0 （1）
M
K
C
其解可以表示为
st
φ
{x ( ) t } = [ ] { } （2）
e
N × 1 N × 2N 2N × 1
}
φ
式中：{x ( ) t 为系统的自由响应向量；[ ]为系统的振型向量即特征向量矩阵；S 为系统特征值；N 为
系统的自由度数。其中特征值 S 为系统的第 r 阶特征值，以共轭复数型式成对出现，即：
r
ì s = -ξ ω + jω 1 - ξ 2
ï r r r r r
í （3）
ï * 1 - ξ 2
s = -ξ ω - jω
î r r r r r
式中：ω 为对于第 r 阶模态的固有圆频率；ξ 为对应的模态阻尼比。
r
r
系统第 i 测点在 t 时刻的自由响应可表示为各阶模态单独响应的集合形式：
k
N æ s t s t * ö M s t
*
t
x ( ) = å çϕ e r k + ϕ e r k ÷ = å ϕ e r k （4）
k
i
r = 1è ir ir ø r = 1 ir
*
式中： ϕ 为系统第 r 阶振型向量 { } 的为第 i 个分量；且令 ϕ i (N + r ) = ϕ 、S N+r = S ；M = 2N。
*
ϕ
r
ir
ir
r
通常实际结构测点为 n 个，且往往 n < M，每个测点有 L 个时刻的数据。为了使测点数等于 M，
ITD 法中采用延时方法由实际测点构造虚拟测点的方式使得 n′ = M ，延时可取实际记录采样间隔 DT
的整数倍。
通过实际测点和虚拟测点数据建立的响应矩阵 [X ] ，即
é
éx 11 x 12  x 1L ù éϕ 11 ϕ 12  ϕ 1M ù e s t 1 1 e s t 1 2  e s t ù
1 L
ê ê x x  x ú ú ê ê ϕ ϕ  ϕ ú ú ê ê s t s t s t ú ú
2 L
[ ] = ê ê 21 22 2L ú ú = ê ê 21 22 2M êe 2 1 e 2 2  e ú （5）
X
ú ú
M × L         ê ê     ú ú
ê ê x x  x ú ú ê ê ϕ ϕ  ϕ ú ú ê s t s t s t ú
ë
ë M1 M2 ML û ë M1 M2 MM û e M 1 e M 2  e M L û
记为
[ ] = [ ] [ ] （6）
Φ
X
Λ
M × L M × M M × L
式中 L 为计算采用的数据采样个数。
~
X
将包括虚拟测点的每一测点延时Dt，重新建立响应矩阵 [ ] ，表示为
~
~
[ ] = [ ] [ ] （7）
Λ
Φ
X
M × L M × M M × L
[ ] = [ ] [ ] （8）
~
Φ
V
Φ
M × M M × M M × M
V
V
r
式中 [ ] 为对角矩阵， [ ] 对角线上的元素 V = e s Dt 。将式（8）代入式（7）得，
r
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